Una proyección isométrica es un
método gráfico de representación, más específicamente unaaxonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3 Constituye una representación
visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes
ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones
paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
La isometría es una de las formas de
proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de
permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la
disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
Proyección
isométrica de un filtro Bayer sobre un sensor.
[editar]Visualización
La
isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de
los ejes coordenados x,y, z conforman el
mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación
del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales (x, y, z).
Esta
perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el
vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto.
los ejes x e y son las rectas de encuentro de
las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de
las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º
entre ellos.
En
perspectiva isométrica se suele utilizar un coeficiente de reducción de las
dimensiones equivalente a 0,83. El dibujo isométrico puede realizarse sin
reducción, a escala 1:1 o escala natural, y los segmentos del
dibujo paralelos a los ejes, se corresponderán con las del objeto.
Dentro
del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas, existen otros tipos
de perspectiva, que difieren por la posición de los ejes principales, y el uso
de diferentes coeficientes de reducción para compensar las distorsiones
visuales.
[editar]Aplicaciones
Las
figuras de la izquierda son las vistas en sistema diédrico, mientras que a la
derecha se ve una proyección isométrica con una sección parcial.
[editar]En el diseño y el dibujo técnico
En diseño industrial se
representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes
coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general
formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las
caras, permiten definir una proyección ortogonal.
Se
puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de
tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.
[editar]En
arquitectura
El
castillo del Louvre, dibujo isométrico de Viollet-Le-Duc,(1814-1879).
Eugène Viollet-le-Duc utilizó
este sistema en muchos dibujos de sus edificios, evitando acentuar la
importancia de unos volúmenes sobre otros e independizándose del punto de vista
del observador.
La
perspectiva de este dibujo del castillo no es isométrica, si así lo fuera, las torres
del castillo estarían dibujadas con la misma altura y diámetro, además las
líneas de cumbreras de los tejados serían paralelas entre si, formando un rombo
o romboide dependiendo de la planta del castillo.
[editar]En
videojuegos
Cierto
número de videojuegos pone
en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva
isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4".
Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin
modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.
A
fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema
2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º (arctan 0,5) en lugar de 30º, que no
corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".
El
progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha
posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas,
basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.
[editar]Aspectos
matemáticos
Siendo
la perspectiva isométrica una proyección
geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo,
sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante
latrigonometría.
[editar]Factor de reducción sobre los ejes
Ilustración
de la proyección del eje "z" sobre el plano de representación.
Considerando
la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su
intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección
tendrá una longitud equivalente al coseno de α.
·
α es también el
ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y
por el punto (1,1,1) y labisectriz de los
ejes x e y que pasan por (1,1,0).
·
el triángulo
formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el
segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del
cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y lahipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una
longitud √3.
En
consecuencia:
.
Puede
deducirse que α ≈ 35,26 °.
Es
posible también utilizar el producto escalar:
·
el vector unitario
definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
·
la arista [(0,0,0),(0,0,1)]
se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k1,
y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k2
·
k1 es
el producto escalar de 
y
de 
,
y se puede calcular mediante las coordenadas:
y
de ,
y se puede calcular mediante las coordenadas:
·
el teorema de Pitágoras nos
indica que k1² + k2² = 1
(longitud de las aristas de un cubo)
En
consecuencia:
.
La
longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un
factor de 0.82.
Se
llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de
proyecciones ortogonales.
Por
otro lado, si se considera el círculo unitario del plan (x,y), el
rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz
del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k1 =
1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.
[editar]Transformación
de coordenadas
Proyección de la base ortonormaldel espacio.
La
transformación de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a
partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de
video, o de simulación 3D.
Suponiendo
un espacio provisto de una base ortonormaldirecta 
.
La proyección P se realiza según el vector 
de
componentes (1,1,1), es decir el vector ,
según el plano representado por ese mismo vector.
.
La proyección P se realiza según el vector de
componentes (1,1,1), es decir el vector ,
según el plano representado por ese mismo vector.
Como
toda aplicación lineal, puede estar representado por la transformación de los
vectores de la base, más un vector que se
transforma según
Sea .
LLamamos a
la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.
Elegimos
arbitrariamente que 
hace
un ángulo de -π/6 con 
.
hace
un ángulo de -π/6 con .
La
aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la
perspectiva isométrica resulta:
La
matriz de la proyección MP es en consecuencia:
Considerando
un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta
en (x', y'), su proyección será:
[editar]Transformación de un círculo del
plano conteniendo dos ejes
Si
consideramos el círculo trigonométrico del plano 
,
las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:
,
las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:
Las
coordenadas de los puntos proyectados en la base serán:
Una proyección isométrica es un
método gráfico de representación, más específicamente unaaxonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3 Constituye una representación
visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes
ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones
paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
La isometría es una de las formas de
proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de
permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la
disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.
Proyección
isométrica de un filtro Bayer sobre un sensor.
[editar]Visualización
La
isometría determina una dirección de visualización en la que la proyección de
los ejes coordenados x,y, z conforman el
mismo ángulo, es decir, 120º entre sí. Los objetos se muestran con una rotación
del punto de vista de 45º en las tres direcciones principales (x, y, z).
Esta
perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el
vértice superior de una habitación cúbica, mirando hacia el vértice opuesto.
los ejes x e y son las rectas de encuentro de
las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de
las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus líneas paralelas), mantienen 120º
entre ellos.
En
perspectiva isométrica se suele utilizar un coeficiente de reducción de las
dimensiones equivalente a 0,83. El dibujo isométrico puede realizarse sin
reducción, a escala 1:1 o escala natural, y los segmentos del
dibujo paralelos a los ejes, se corresponderán con las del objeto.
Dentro
del conjunto de proyecciones axonométricas o cilíndricas, existen otros tipos
de perspectiva, que difieren por la posición de los ejes principales, y el uso
de diferentes coeficientes de reducción para compensar las distorsiones
visuales.
[editar]Aplicaciones
Las
figuras de la izquierda son las vistas en sistema diédrico, mientras que a la
derecha se ve una proyección isométrica con una sección parcial.
[editar]En el diseño y el dibujo técnico
En diseño industrial se
representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes
coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general
formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las
caras, permiten definir una proyección ortogonal.
Se
puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de
tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.
[editar]En
arquitectura
El
castillo del Louvre, dibujo isométrico de Viollet-Le-Duc,(1814-1879).
Eugène Viollet-le-Duc utilizó
este sistema en muchos dibujos de sus edificios, evitando acentuar la
importancia de unos volúmenes sobre otros e independizándose del punto de vista
del observador.
La
perspectiva de este dibujo del castillo no es isométrica, si así lo fuera, las torres
del castillo estarían dibujadas con la misma altura y diámetro, además las
líneas de cumbreras de los tejados serían paralelas entre si, formando un rombo
o romboide dependiendo de la planta del castillo.
[editar]En
videojuegos
Cierto
número de videojuegos pone
en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva
isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4".
Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin
modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.
A
fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema
2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º (arctan 0,5) en lugar de 30º, que no
corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".
El
progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha
posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas,
basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.
[editar]Aspectos
matemáticos
Siendo
la perspectiva isométrica una proyección
geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo,
sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante
latrigonometría.
[editar]Factor de reducción sobre los ejes
Ilustración
de la proyección del eje "z" sobre el plano de representación.
Considerando
la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su
intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección
tendrá una longitud equivalente al coseno de α.
·
α es también el
ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y
por el punto (1,1,1) y labisectriz de los
ejes x e y que pasan por (1,1,0).
·
el triángulo
formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el
segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del
cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y lahipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una
longitud √3.
En
consecuencia:
.
Puede
deducirse que α ≈ 35,26 °.
Es
posible también utilizar el producto escalar:
·
el vector unitario
definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
·
la arista [(0,0,0),(0,0,1)]
se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k1,
y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k2
·
k1 es
el producto escalar de y
de ,
y se puede calcular mediante las coordenadas:
y
de ,
y se puede calcular mediante las coordenadas:
·
el teorema de Pitágoras nos
indica que k1² + k2² = 1
(longitud de las aristas de un cubo)
En
consecuencia:
.
Se
llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de
proyecciones ortogonales.
Por
otro lado, si se considera el círculo unitario del plan (x,y), el
rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz
del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k1 =
1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.
